📐 Cours de Mathématiques

Ensembles et Applications

🔷 Les Ensembles

Définition

Un ensemble est une collection d'objets distincts, appelés éléments.

E = {a, b, c, ...}

Notations importantes

  • ∈ : appartient à (x ∈ E signifie "x appartient à E")
  • ∉ : n'appartient pas à
  • ⊂ : inclus dans (A ⊂ B signifie "A est inclus dans B")
  • ∪ : union d'ensembles
  • ∩ : intersection d'ensembles
  • ∅ : ensemble vide

Exemple interactif

Considérons deux ensembles :

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

🔷 Les Applications (Fonctions)

Définition

Une application (ou fonction) f de E vers F associe à chaque élément de E un unique élément de F.

f : E → F
x ↦ f(x)
  • E : ensemble de départ (domaine)
  • F : ensemble d'arrivée (codomaine)
  • f(x) : image de x par f

Vocabulaire

  • Image : f(x) est l'image de x
  • Antécédent : si f(x) = y, alors x est un antécédent de y
  • Image de f : Im(f) = {f(x) | x ∈ E}

Représentation visuelle

E (Départ)

x₁
x₂
x₃
→
→
→

F (Arrivée)

f(x₁)
f(x₂)
f(x₃)

🔷 Types d'Applications

1. Injection

Une application f : E → F est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes.

∀ x₁, x₂ ∈ E : x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Ou de manière équivalente : f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

Exemple : f(x) = 2x est injective sur ℝ

2. Surjection

Une application f : E → F est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent dans E.

∀ y ∈ F, ∃ x ∈ E : f(x) = y

Autrement dit : Im(f) = F

Exemple : f(x) = x² est surjective de ℝ vers ℝ⁺

3. Bijection

Une application f : E → F est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

f est bijective ⟺ f est injective ET surjective

Chaque élément de F a exactement un antécédent dans E

Exemple : f(x) = 2x + 1 est bijective de ℝ vers ℝ

Propriétés importantes

  • Si f est bijective, elle admet une application réciproque f⁻¹
  • La composée de deux injections est une injection
  • La composée de deux surjections est une surjection
  • La composée de deux bijections est une bijection

🔷 Exemples Pratiques

Exemple 1 : Fonction carré

f : ℝ → ℝ
x ↦ x²
  • ❌ Non injective : f(-2) = f(2) = 4
  • ❌ Non surjective : -1 n'a pas d'antécédent
  • ❌ Non bijective

Mais f : ℝ⁺ → ℝ⁺ définie par x ↦ x² est bijective !

Exemple 2 : Fonction identité

Id : E → E
x ↦ x
  • ✅ Injective
  • ✅ Surjective
  • ✅ Bijective

Exemple 3 : Fonction affine

f : ℝ → ℝ
x ↦ ax + b (avec a ≠ 0)
  • ✅ Injective
  • ✅ Surjective
  • ✅ Bijective

Application réciproque : f⁻¹(y) = (y - b) / a

Testez vos connaissances

Question : La fonction f(x) = x³ de ℝ vers ℝ est-elle bijective ?